如何利用轴对称解数学难题

时间:2014-05-27 来源:    作者: 点击: 进入论坛交流
出于数学美的考虑而导致解题思路的发现,叫做以美启真.这种解题策略将数学的简单美、对称美、和谐美、奇异美和问题的条件或结论相结合,再凭借知识经验与审美直觉从而确定解题的总体思路或人手方向.于是美的启示就在解题过程中起到了宏观指导和决策的作用。

7岁那年,小高斯上小学了,教师叫布特纳,是当地小有名气的“数学家”.这位来自城市的青年教师。总认为乡下的孩子都是笨蛋,自己的才华无法施展.一次数学课上,布特纳对孩子们又发了一通脾气,然后,在黑板上写下一个长长的算式:

81297+8149 5+81693+.- - +100701+100899一?

“哇!这是多少个数相加呀?怎么算呀?”学生们害怕极了,越是紧张越是想不出怎么计算.

布特纳很得意,他知道,像这样后一个数都比其前一个相邻的数大198的100个数相加,这些调皮的学生即使整个上午都乖乖地计算,也不会算出结果.

不料,不一会儿,小高斯却拿着写有答案的小石板过来了,说:“老师,我算完了.”布特纳连头都没抬,生气地说:“去去,不要胡闹.谁想胡乱写一个数交差,可得小心!”说完,挥动了一下他那铁锤似的拳头.

可是小高斯却坚持不走,说:“老师,我没有胡闹,”他把小石板轻轻地放在讲台上.布特纳看了一眼,惊讶得说不出话来,没想到,这个孩子居然这么快就算出了正确的答案。

原来,小高斯不是像其他孩子那样一个数一个数地加,而是细心地观察,动脑筋,找规律.他发现一头一尾两个数依次相加,每次加得的和都是182196,求50个182196的和可以用乘法很快算出。

小高斯让人难以置信的数学天赋,使布特纳既佩服,又内疚.从此,他再也不轻视穷人的孩子了.他给小高斯买来了许多数学书,并让他的助手巴蒂尔帮助小高斯学数学.

小高斯的解法也可以这样理解,假设S=81297+81495+81693+--+100701+100899①,

根据加法交换律可得:S一100899+100701+…+81693+81495+

81297②.

①+②,得

2S= (81297+100899)+(81495 +100701)+…+(100701+ 81495)+(100899+81297),

2S-100×182196,

解得S-100×182196÷2= 9109800.

小高斯对这个问题的解决在我们现今看来很平常,但是在小高斯生活的那个时代,这绝对是一个非常巧妙的解法,我们不得不感叹于这个解法中所体现出来的对称美.

出于数学美的考虑而导致解题思路的发现,叫做以美启真.这种解题策略将数学的简单美、对称美、和谐美、奇异美和问题的条件或结论相结合,再凭借知识经验与审美直觉从而确定解题的总体思路或人手方向.于是美的启示就在解题过程中起到了宏观指导和决策的作用。

如:如图1,在Rt△ABC中,么BAC =90。,点D为△ABC内部一点,

且AB=AC=BD,么ABD=30。.

求证:AD=CD.
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理解题意后,在图形上不添辅助线难有头绪,看不到“光明”,如果由“对称美”的启示,我们可将这个等腰直角三角形补全为正方形ABEC(如图2),第4个顶点E容易添加出来,再连结DE,此时“对称美”像黑暗中拉开了一盏电灯,给我们带来光亮,只要证明△ABDcn△CE'D即可,这时如果发现等边△BDE,整个思路即告“贯通”!
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评析:作为北京中考卷压轴题,设计了一道研究性的考题,可见命题组的良苦用心.问题中提及的一般问题先特殊化获得猜想的方向,即明确向何方前进;进而再向一般问题过渡,利用“对称美”实现构造、转化后,发现特殊图形对问题获解有很大的帮助.


 

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