反思“曹冲祢象”对解数学难题过程的优化

时间:2014-05-27 来源:    作者: 点击: 进入论坛交流
现在我们再进一步反思曹冲的方案.曹冲的方案的大前提是“把大象赶上船、再赶上岸”,这当中若有一次大象不愿走动,那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的.大象自己走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?

相传曹操获得一头大象,与大家一边看一边议论,“大象到底有多重呢?”由于当时没有足够大的秤,又没有现代化的仪器,无法对大象进行称重。

曹操的众多谋士就提出了不同水平的“问题解决方案”。

有人提议把大象宰了,一块一块地称,这是一种“化整为零”的策略,重量虽然出来了,但珍贵的大象却不复存在了.曹操的儿子曹冲当时才7岁,他提出一个聪明的办法:先把大象赶到一艘大船上,看船身下沉多少,就沿着水面,在船舷上画一条线.然后,把大象赶上岸,往船上装石头,直至船下沉到画线的地方为止.最后,称一称船上的石头,石头有多重,就知道大象有多重了,

我们来从数学解题层面上分析曹冲的“问题解决方案”,可以形象地绘出下面的转化图(如图1):
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这个过程主要有两个步骤:

第1步,把“整体”的大象对应为等价物:“零散”的石头(化整为零);

第2步,称一小块一小块的石头,得出大象的重量(集零为整).

请注意,曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法,与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性,曹冲的聪明之处在于,既从别人的不成功想法中吸取了合理成分,又用等价物代替大象.(这里有一个思维亮点:通过物理知识找出等价物)

现在我们再进一步反思曹冲的方案.曹冲的方案的大前提是“把大象赶上船、再赶上岸”,这当中若有一次大象不愿走动,那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的.大象自己走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?

就此,我曾在一个数学活动课上跟学生进行了如下的对话.

教师:“假如我们这个地方是个平地,全是黄土,没有石头,你怎么办?”

学生:“那我就把黄土挑上船,直至船沉到画线的地方,然后称黄土的重量,”

教师:“挑黄土上船、下船,既费工又费时,有没有既省工又省时的更简单的办法?”

学生:“用电子秤直接称大象,”

教师:“这不行,不能改变当时的技术条件.”

学生:“组织围观的人代替黄土,让人自己走上船、自己走下船过秤,既省工又省时,要不,赶一群羊上船也可以.”

这段反思发现这个办法确实比曹冲的好.可以得出三个启示:

①即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间,

②注重解题过程的分析与启发,也能开发出解题智慧来.

③找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径.在曹冲的方案中,“大象自己上船、下船”本已存在,只不过是在使用石头等价物时被浪费了,参与交流的学生无非是“找回被浪费的重要信息”.

下面是一个学生袁宵亮向我请教的一道一元二次方程试题时的交流实录,我愿意跟大家分享互相交流的心路历程:
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